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2019_2020学年八年级数学下册18微专题特殊平行四边形中的动手操作问题—折叠、剪切、拼接习题(新版)冀教

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微专题:特殊平行四边形中的动手操作问题——折叠、剪切、拼接【河
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【河北中考分布:河北 2017T11 考查正方形的剪切,河北 2016T13 考查平行四边形的折 叠,河北 2015T16 考查矩形的剪拼】
◆类型一 折叠问题中求角度和长度 1.如图,将矩形 ABCD 折叠,AE 是折痕,点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处,如果∠BAF =50°,那么∠DEA 等于( ) A.40°
B.50°
C.60°
D.70° 2.(2017·舟山中考)已知一张矩形纸片 ABCD,AB=3,AD=2,小明按如图所示的步骤 折叠纸片,则线段 DG 的长为( )

A. 2 B.2 2 C.1 D.2 3.(2017·河北模拟)如图,正方形 ABCD 的边长为 9,将正方形折叠,使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处,折痕为 GH.若 BE∶EC=2∶1,则线段 CH 的长是( ) A.3 B.4 C.5 D.6

第 3 题图

第 4 题图

4.如图,将矩形 ABCD 沿直线 EF 对折,点 D 恰好与 BC 边上的点 H 重合.如果∠GFP=

62°,那么∠EHF 的度数为________.

5.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠B=45°,AE 为 BC 边上的高,将△ABE 沿 AE 所在直线翻折得△AB′E, AB′与 CD 边交于点 F,则 B′F 的长为________.

6.(唐山乐亭县模拟)如图,正方形 ABCD 中,AB=12,点 E 在边 BC 上,且 BE=EC,将

△DCE 沿 DE 对折至△DFE,延长 EF 交边 AB 于点 G,连接 DG,则 BG 的长是________.
7.(2017·定州期中)如图,把矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使点 C 落在点 F 处,BF 交 AD 于点 E.
(1)求证:△BEA≌△DEF; (2)若 AB=2,AD=4,求 AE 的长.

◆类型二 特殊四边形的剪切与拼接 8.如图,把一张矩形纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个正方形,剪刀与 折痕所成的角的度数应为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

第 8 题图

第 9 题图

9.(河北中考)如图,将长为 2、宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后,拼成面积为 2

的正方形,则 n 不可能是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

10.(河北中考)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自

要拼成一个与原来面积相等的正方形,则( )

A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以 C.甲不可以、乙可以 D.甲可以、乙不可以 11.(2017·保定二模)如图,五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字” 形,连接 A、B 两个顶点,过顶点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D.“十字”形被分割为了①、②、③ 三个部分,这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形,这个矩形的长与宽的比为 ()
A.2∶1 B. 10∶1 C.3∶1 D.2 3∶1 12.(2017·廊坊文安县期中)请阅读下列材料:问题:现有 5 个边长为 1 的正方形,排 列形式如图甲,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:画出分割线并在正方形网格 图(图中的每一个小正方形的边长均为 1)中用实线画出拼接成的新正方形. 小东同学的做法是:设新正方形的边长为 x(x>0),依题意,割补前后图形的面积相等, 有 x2=5,解得 x= 5.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的 长.于是,画出如图乙所示的分割线,拼出如图丙所示的新的正方形. 请你参考小东同学的做法,解决如下问题: 现有 10 个边长为 1 的小正方形,排列形式如图丁,请把它们分割后拼接成一个新的正 方形.要求:在图丁中画出分割线,并在图戊的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方 形(直接画出图形,不需写过程).
13.★(2016·张家口宣化县模拟)如图,长方形纸片 ABCD 中,AB=8cm,AD=6cm,按 下列步骤进行裁剪和拼图:

第一步:如图①,在线段 AD 上任意取一点 E,沿 EB,EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下 部分不再使用);
第二步:如图②,沿三角形纸片 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分,并在线段 GH 上任 意取一点 M,线段 BC 上任意取一点 N,沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分;
第三步:如图③,将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180°,使线段 GB 与 GE 重 合,将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180°,使线段 HC 与 HE 重合,拼成一个与三 角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片. 求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值.

参考答案与解析 1.D 2.A 3.B 4.56° 5.2- 2 解析:∵在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠B=45°,AE 为 BC 边上的高,∴AE
= 2.由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形,∴BB′= AB2+AB′2=2 2,∴CB′=BB′ -BC=2 2-2.∵AB∥CD,∴∠FCB′=∠B=45°.又由折叠的性质知,∠B′=∠B=45°, ∴△B′CF 为等腰直角三角形,∴CF2+B′F2=B′C2,即 2B′F2=B′C2,∴B′F=2- 2.
6.8 解析:由折叠可知 EF=EC=12BC=6,DF=DC=DA,∠DFE=∠C=90°,∴∠DFG =∠A=90°.在 Rt△ADG 和 Rt△FDG 中,?????DDAG= =DDFG, ,∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL),∴AG=FG. 设 AG=FG=x,则 EG=x+6,BG=12-x,由勾股定理得 EG2=BE2+BG2,即(x+6)2=62+(12 -x)2,解得 x=4,∴AG=4,∴BG=8.
7.(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,∠A=∠C=90°.由折叠得 FD=CD, ??∠AEB=∠FED,
∠F = ∠C = 90° , ∴AB = FD , ∠A = ∠F. 在 △BEA 和 △DEF 中 ?∠A=∠F, ??AB=FD,
∴△BEA≌△DEF. (2)解:∵△BEA≌△DEF,∴BE=DE=AD-AE=4-AE.设 AE=x,则 BE=4-x.在 Rt△BAE
中,由勾股定理得 AB2+AE2=BE2,∴22+x2=(4-x)2,解得 x=32,∴AE=32. 8.B 9.A 解析:如图,将长为 2、宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后,拼成面积为 2 的正 方形,则 n 可以为 3,4,5,故 n 不可能为 2.
10.A 解析:所拼图形如图所示,甲、乙都可以拼成一个与原来面积相等的正方形.故 选 A.
11.A 解析:如图,易知四边形 ACBE 是正方形,AB 与 CE 是正方形的对角线,则 CD

=DE=AD=BD,则组成的这个矩形的长与宽的比为 2∶1,故选 A.
12.解:如图所示.
13.解:如图①为第三步剪拼之后的四边形 M1N1N2M2 的示意图. N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中 位线定理).∵M1M2∥N1N2,∴四边形 M1N1N2M2 是平行四边形,其周长为 2N1N2+2M1N1=2BC+ 2MN.∵BC=6 为定值,∴四边形的周长取决于 MN 的大小.如图②是剪拼之前的完整示意图, 过点 G,H 作 BC 边的平行线,分别交 AB,CD 于 P 点、Q 点,则四边形 PBCQ 是一个矩形,这 个矩形是矩形 ABCD 的一半,∵M 是线段 PQ 上的任意一点,N 是线段 BC 上的任意一点,根据 垂线段最短,得到 MN 的最小值为 PQ 与 BC 平行线之间的距离,即 MN 最小值为 4;而 MN 的 最大值等于矩形对角线的长度,即 PB2+BC2= 42+62=2 13.四边形 M1N1N2M2 的周长为 2BC +2MN=12+2MN,∴四边形 M1N1N2M2 周长的最小值为 12+2×4=20,最大值为 12+2×2 13 =12+4 13.故拼成的四边形纸片的周长的最小值为 20,最大值为 12+4 13.



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